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Somme des entiers naturel


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5 réponses à ce sujet

#1 papouna75

papouna75

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Posté 30 December 2014 - 20:42

Bonjour voilà , j'ai vu à plusieurs reprises une demonstration mathématique plutôt étonnante dont j'aimerais avoir un peu plus d'explications et j'aimerais voir ce que les gens en pensent:
Cette démonstration prouve que la somme de tous les entier naturels vaut -1/12 , c'est à dire que 1+2+3+4+5+6+.....=-1/12

Voici la démonstration faite par un youtubeur appelé Micmath:
http://m.youtube.com...h?v=xqTWRtNDO3U

#2 Castlebravo

Castlebravo

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Posté 30 December 2014 - 20:51

Toutes ces démonstrations partent du fait que la somme A=1-1+1-1.... possède une valeur définie, ce qui n'est pas vrai. Tout le reste est donc faux. 

Ensuite, je sais qu'en triturant certaines définitions des sommes infinies, on peut arriver un peu plus rigoureusement à ce résultat. Mais ça commence à devenir plus compliqué, et d'autre que moi l'expliquerons sûrement mieux.



#3 Eleusis

Eleusis

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Posté 30 December 2014 - 20:56

Wikipédia développe le sujet

 

Retenons quand même qu'au sens usuel, cette somme est divergente et tend donc vers l'infini (pas sommable au sens de Césaro ou d'Abel). La somme des n premiers entiers étant n(n+1)/2



#4 adrien59

adrien59

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Posté 30 December 2014 - 21:11

En fait c'est assez simple. Il faut définir des règles de sommation.

 

On prend une suite de nombre x_n, et on veut définir ce qu'on entend par : est-elle sommable ? Quelle est sa somme.

 

Pour ça il faut créer un opérateur de sommation, disons F.

 

F possède un domaine, c'est à dire un ensemble de suites (x_n) pour lesquelles F(x_n) est bien défini.

 

Et F doit vérifier trois opérations "naturelles" : 

 

- Si on prend les k premiers termes de la suite et qu'on les somme par F, puis qu'on somme ça avec la somme du reste (faut relire ça deux fois pour comprendre), alors c'est comme si on avait juste sommé tout d'un coup. Formellement : F(x_1,...,x_k,0,0,0,...)+F(0,...,0,x_(k+1),...)=F((x_n))

 

-Si on multiplie x_n par un réel a, on multiplie la somme par un réel a. Et on a F(x_n+y_n)=F(x_n)+F(y_n)

 

-Quel que soit le nombre (fini) de 0 qu'on met devant x_n, F(0,...,0,x_1,x_2,...) doit avoir la même valeur que F(x_n)

 

 

(Je crois que c'est bien ça)

 

Désormais si on a deux opérateurs F et G, et que x_n est dans le domaine de F et dans le domaine de G, alors la somme par F et la somme par G de x_n donneront le même résultat. 

 

Donc si jamais il existe un opérateur de sommation tel que la suite x_n=n est sommable au sens précédent, alors sa somme vaudra toujours -1/12 comme c'est montré dans ton lien.

 

À partir de là, un des opérateurs F classique est la somme habituelle et son domaine est appelé "suites de séries convergentes"

 

Un autre opérateur est l'opérateur de sommation de Ramanujan par exemple. 

 

On a aussi la sommation de Césaro ou celle d'Abel.

 

NB : la dernière chose requise peut être omise comme dans la sommation de Borel (ou de Césaro d'ailleurs)



#5 Gouni

Gouni

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Posté 31 December 2014 - 12:39

Toutes ces démonstrations partent du fait que la somme A=1-1+1-1.... possède une valeur définie, ce qui n'est pas vrai. Tout le reste est donc faux. 

Ensuite, je sais qu'en triturant certaines définitions des sommes infinies, on peut arriver un peu plus rigoureusement à ce résultat. Mais ça commence à devenir plus compliqué, et d'autre que moi l'expliquerons sûrement mieux.

 

Ce résultat est vrai puisqu'il est utilisé en physique entre autre.

On utilise juste des règles pour le trouver c'est tout.


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#6 adrien59

adrien59

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Posté 31 December 2014 - 12:42

Ce résultat est vrai puisqu'il est utilisé en physique entre autre.

On utilise juste des règles pour le trouver c'est tout.

Ce qui est utilisé en physique c'est le prolongement analytique en -1 de la fonction zêta de Riemann, pas un truc écrit "1-2+3-4+5-6+...." (ou alors seulement par abus de notation.






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